優化器 -自適應梯度策略

優化器自適應梯度策略是常態損失函數的變型，改良常態損失函數的一些缺點或加快其收斂速度。

既然是常態損失函數的變型，那可以把優化器稱為 “變態損失函數” 嗎? 這絕對正確，因為它變型到非常猙獰，簡直到了變態的行為。

keras 官網 https://keras.io/zh/optimizers/ 介紹的的優化器有 RMSProp，AdaGrad，Adadelta，Adam，Adamax，Nadam。

自適應梯度通常有很複雜的演算及公式，一般人要用 Python 寫出其實有難度，所以都交給 tensorflow 包含在優化器中，直接調用即可。本篇說明 Ada、RMSP、Adam 三種優化器的公式及演算法。

Ada

Ada 是 Adaptive[əˋdæptɪv](自適應, 調節的) 的縮寫。

SGD 或動量在更新 x 值時，都是使用相同的學習率 (r)。而 Ada 則是每次的迭代，都會改變學習率，稱為學習率衰減(請注意喔，不是上面的衰減因子)。

Adagrad的公式如下 :

先計算 $(G_{t} = \sum_{t=1}^{n}f'(x_{t})^{2})$，也就是先計算每次導數平方總合

下一步的 x 標識為$(x_{t+1})$，其公式為 $(x_{t+1}=x_{t}-\frac{lr}{\sqrt{G_{t}}+\varepsilon}*f'(x_{t+1})=x_{t}-\frac{lr}{\sqrt{\sum_{t=1}^{n}f'(x_{t})^{2}}+\varepsilon}*f'(x_{t+1}))$

分母中的 $(\varepsilon)$ 是為了避免分母等於 0，稱為平滑項，一般設定為 1e-7。

Adagrad類別如下

import numpy as np
from MBGD import MBGD
class Adagrad(MBGD):
    def __init__(self, a, b, x, y, lr, batch_size):
        super().__init__(a, b, x, y, lr, batch_size)
        self.sum_grad_a = 0
        self.sum_grad_b = 0
        # epsilon
        self.e = 1e-6

    def update(self):
        self.a_old = self.a
        self.b_old = self.b
        grad_a, grad_b = self.gradient()
        # 累加梯度平方和
        self.sum_grad_a += grad_a ** 2
        self.sum_grad_b += grad_b ** 2
        # 梯度更新
        self.a = self.a_old - (self.lr / (np.sqrt(self.sum_grad_a) + self.e)) * grad_a
        self.b = self.b_old - (self.lr / (np.sqrt(self.sum_grad_b) + self.e)) * grad_b
        loss = ((self.a * self.x + self.b) - self.y) ** 2
        self.loss = np.mean(loss)

主程式如下

from Adagrad import Adagrad
from Regression import *
import pylab as plt
epoch=200
x,y=getData(100)
mesh, contour=getContour(x,y)
fig, ax=plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(12,4))

a2=ax[1].contourf(mesh[0], mesh[1], contour, 15, cmap=plt.cm.Purples)
plt.colorbar(a2,ax=ax[1])

lr = 3
init_a = -9; init_b = -9
ax[1].scatter(init_a, init_b, c='g')
batch_size=25
gd = Adagrad(init_a, init_b, x, y, lr, batch_size)
for i in range(epoch):
    gd.update()
    ax[0].clear()
    ax[0].set_xlim(-5, 5)
    ax[0].set_ylim(-30, 30)
    ax[0].scatter(x, y)
    ax[0].plot([x[0], x[-1]], [gd.a * x[0] + gd.b, gd.a * x[-1] + gd.b], c="orange")
    ax[0].set_title(f'{gd.a:.6f}x+{gd.b:.6f}')

    print('iter=' + str(i) + ', loss=' + '{:.2f}'.format(gd.loss))
    ax[1].set_xlim(-10,15)
    ax[1].set_ylim(-10, 15)
    ax[1].set_title(f'iter:{i+1:03d} Loss: {gd.loss:6f}')
    ax[1].plot([gd.a_old, gd.a], [gd.b_old, gd.b], c='r')
    ax[1].scatter(gd.a, gd.b, c='g')
    ax[1].set_xlabel("a")
    ax[1].set_ylabel("b")
    plt.pause(0.01)
plt.show()

RMSP

RMSP 是 Root Mean Square Propagation[͵prɑpəˋgeʃən] 均方根傳播法的縮寫。

RMSP 就是 Ada 的改良，依梯度大小對學習率進行加強或衰減，比 Ada 更快進入收斂。

RMSP 的公式如下 : 

$(G_{t+1}=\rho G_{t}+(1-\rho)f'(x_{t+1})^2)$，其中的 $(\rho)$ 一般設定為 0.9

RMSP類別繼承Adagrad類別，程式碼如下

from Adagrad import Adagrad
import numpy as np

class RMSP(Adagrad):
    def __init__(self, a, b, x, y, lr, batch_size, rho):
        super().__init__(a, b, x, y, lr, batch_size)
        self.rho = rho
    def update(self):
        self.a_old = self.a
        self.b_old = self.b
        grad_a, grad_b = self.gradient()

        self.sum_grad_a = self.rho * self.sum_grad_a + (1 - self.rho) * grad_a ** 2
        self.sum_grad_b = self.rho * self.sum_grad_b + (1 - self.rho) * grad_b ** 2

        self.a = self.a_old - (self.lr / (np.sqrt(self.sum_grad_a) + self.e)) * grad_a
        self.b = self.b_old - (self.lr / (np.sqrt(self.sum_grad_b) + self.e)) * grad_b
        loss = ((self.a * self.x + self.b) - self.y) ** 2
        self.loss = np.mean(loss)

主程式同Adagrad，只是 lr 不同，並加了 rho參數

from Adagrad import Adagrad
from RMSP import RMSP
from Regression import *
import pylab as plt
epoch=200
x,y=getData(100)
mesh, contour=getContour(x,y)
fig, ax=plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(12,4))

a2=ax[1].contourf(mesh[0], mesh[1], contour, 15, cmap=plt.cm.Purples)
plt.colorbar(a2,ax=ax[1])

lr = 1
init_a = -9; init_b = -9
ax[1].scatter(init_a, init_b, c='g')
batch_size=25
rho=0.5
gd = RMSP(init_a, init_b, x, y, lr, batch_size, rho)
for i in range(epoch):
    gd.update()
    ax[0].clear()
    ax[0].set_xlim(-5, 5)
    ax[0].set_ylim(-30, 30)
    ax[0].scatter(x, y)
    ax[0].plot([x[0], x[-1]], [gd.a * x[0] + gd.b, gd.a * x[-1] + gd.b], c="orange")
    ax[0].set_title(f'{gd.a:.6f}x+{gd.b:.6f}')

    print('iter=' + str(i) + ', loss=' + '{:.2f}'.format(gd.loss))
    ax[1].set_xlim(-10,15)
    ax[1].set_ylim(-10, 15)
    ax[1].set_title(f'iter:{i+1:03d} Loss: {gd.loss:6f}')
    ax[1].plot([gd.a_old, gd.a], [gd.b_old, gd.b], c='r')
    ax[1].scatter(gd.a, gd.b, c='g')
    ax[1].set_xlabel("a")
    ax[1].set_ylabel("b")
    plt.pause(0.01)
plt.show()

Adam

Adam 是 RMSP 加上動量的改良版，而 RMPS 又源自於 Ada 的改良版。也就是說 Ada => RMSP => Adam，所以名稱以 Ada + M = Adam。

那為什麼不用 RMSPM 這個名稱呢? 因為 Adam 有 $(\beta_{1})$ 及 $(\beta_{2})$ 二個參數，也就是多了 $(\beta_{2})$  這個參數，這跟 RMSP 完全不同，所以只能說 Adam 是 Ada 及 RMSP 二者的進化版。

$(m_{t} = \beta_{1} m_{t-1}+(1-\beta_{1})f'(x_{t}))$
$(v_{t} = \beta_{2} v_{t-1}+(1-\beta_{2})f'(x_{t})^2)$

$(\beta_{1})$ 及 $(\beta_{2})$ 是二個接近 1 的值，一般 $(\beta_{1})$ 設定為 0.9， $(\beta_{2})$ 設定為 0.999。

然後要進行修正
$(\tilde{m}_{t} = \frac{m_{t}}{1-\beta_{1}^{t}})$，裏面的$(\beta_{1}^{t})$ 是 $(\beta_{1})$ 的 t 次方
$(\tilde{v}_{t} = \frac{v_{t}}{1-\beta_{2}^{t}})$，裏面的$(\beta_{2}^{t})$ 是 $(\beta_{2})$ 的 t 次方
$(x_{t+1} = x_{t}- \frac{lr}{\sqrt{\tilde{v}_{t}}+\varepsilon}\tilde{m}_{t})$

底下的代碼，Adam 類別繼承 MBGD

import numpy as np
from MBGD import MBGD
class Adam(MBGD):
    def __init__(self, a, b, x, y, lr, batch_size, beta1, beta2):
        super().__init__(a,b, x, y, lr, batch_size)
        self.beta1 = beta1
        self.beta2 = beta2
        self.e = 1e-6
        self.sum_ma=0
        self.sum_mb=0
        self.sum_grad_a = 0
        self.sum_grad_b = 0
    def update(self, t):
        self.a_old = self.a
        self.b_old = self.b
        grad_a, grad_b = self.gradient()

        # 累加動量
        self.sum_ma = self.beta1 * self.sum_ma + (1 - self.beta1) * grad_a
        self.sum_mb = self.beta1 * self.sum_mb + (1 - self.beta1) * grad_b

        self.sum_grad_a = self.beta2 * self.sum_grad_a + (1 - self.beta2) * grad_a ** 2
        self.sum_grad_b = self.beta2 * self.sum_grad_b + (1 - self.beta2) * grad_b ** 2

        #底下是修正用的，只要用區域變數即可，不必儲存
        ma = self.sum_ma / (1 - np.power(self.beta1, t))
        mb = self.sum_mb / (1 - np.power(self.beta1, t))
        va = self.sum_grad_a / (1-np.power(self.beta2, t))
        vb = self.sum_grad_b / (1 - np.power(self.beta2, t))

        # 梯度更新
        self.a -= (self.lr * ma) / (np.sqrt(va) + self.e)
        self.b -= (self.lr * mb) / (np.sqrt(vb) + self.e)

        loss=((self.a * self.x + self.b) - self.y) ** 2
        self.loss=np.mean(loss)

主程式如下

from Adagrad import Adagrad
from Adam import Adam
from RMSP import RMSP
from Regression import *
import pylab as plt
epoch=150
x,y=getData(100)
mesh, contour=getContour(x,y)
fig, ax=plt.subplots(nrows=1, ncols=2, figsize=(12,4))

a2=ax[1].contourf(mesh[0], mesh[1], contour, 15, cmap=plt.cm.Purples)
plt.colorbar(a2,ax=ax[1])

lr = 1
init_a = -9; init_b = -9
ax[1].scatter(init_a, init_b, c='g')
batch_size=25
beta1=0.9
beta2=0.999
gd = Adam(init_a, init_b, x, y, lr, batch_size, beta1, beta2)
for i in range(epoch):
    gd.update(i+1)
    ax[0].clear()
    ax[0].set_xlim(-5, 5)
    ax[0].set_ylim(-30, 30)
    ax[0].scatter(x, y)
    f=np.poly1d(np.polyfit(x,y,1))
    ax[0].plot(x, f(x),c='g', linewidth=3)
    ax[0].plot([x[0], x[-1]], [gd.a * x[0] + gd.b, gd.a * x[-1] + gd.b], c="orange")
    ax[0].set_title(f'{gd.a:.6f}x+{gd.b:.6f}')

    print('iter=' + str(i) + ', loss=' + '{:.2f}'.format(gd.loss))
    ax[1].set_xlim(-10,15)
    ax[1].set_ylim(-10, 15)
    ax[1].set_title(f'iter:{i+1:03d} Loss: {gd.loss:6f}')
    ax[1].plot([gd.a_old, gd.a], [gd.b_old, gd.b], c='r')
    ax[1].scatter(gd.a, gd.b, c='g')
    ax[1].set_xlabel("a")
    ax[1].set_ylabel("b")
    plt.pause(0.01)
plt.show()

參考資料

編譯 keras 模型至少需要二個參數，第一個是指定損失函數類型，第二個則是指定優化器 (optimizer) ：

from keras import optimizers 
model = Sequential() 
model.add(Dense(64, kernel_initializer='uniform', input_shape=(10,)))
model.add(Activation('softmax'))
sgd = optimizers.SGD(lr=0.01, decay=1e-6, momentum=0.9, nesterov=True)
model.compile(loss='mean_squared_error', optimizer=sgd)

先產生一個實體優化器物件，然後將它傳入 model.compile()，像上述示例中一樣， 可以通過名稱來調用優化器。在後一種情況下，將使用優化器的默認參數。

# 傳入優化器名稱: 默認參數將被採用
model.compile(loss='mean_squared_error', optimizer='sgd')

Keras 優化器的公共參數

參數 clipnorm 和 clipvalue 能在所有的優化器中使用，用於控制梯度裁剪（Gradient Clipping）：

from keras import optimizers
# 所有參數梯度將被裁剪，讓其l2範數最大為1：g * 1 / max(1, l2_norm)
sgd = optimizers.SGD(lr=0.01, clipnorm=1.)
from keras import optimizers
# 所有參數d 梯度將被裁剪到數值範圍內：
# 最大值0.5
# 最小值-0.5
sgd = optimizers.SGD(lr=0.01, clipvalue=0.5)

SGD

keras.optimizers.SGD(lr=0.01, momentum=0.0, decay=0.0, nesterov=False)

隨機梯度下降優化器。

包含擴展功能的支援： – 動量（momentum）優化, – 學習率衰減（每次參數更新後） – Nestrov 動量 (NAG) 優化

參數

• lr: float >= 0. 學習率。
• momentum: float >= 0. 參數，用於加速 SGD 在相關方向上前進，並抑制震盪。
• decay: float >= 0. 每次參數更新後學習率衰減值。
• nesterov: boolean. 是否使用 Nesterov 動量。

RMSprop

keras.optimizers.RMSprop(lr=0.001, rho=0.9, epsilon=None, decay=0.0)

RMSProp 優化器.

建議使用優化器的默認參數 （除了學習率 lr，它可以被自由調節）

這個優化器通常是訓練迴圈神經網路RNN的不錯選擇。

參數

• lr: float >= 0. 學習率。
• rho: float >= 0. RMSProp梯度平方的移動均值的衰減率.
• epsilon: float >= 0. 模糊因數. 若為None, 默認為 epsilon()。
• decay: float >= 0. 每次參數更新後學習率衰減值。

Adagrad

keras.optimizers.Adagrad(lr=0.01, epsilon=None, decay=0.0)

Adagrad 優化器。

Adagrad 是一種具有特定參數學習率的優化器，它根據參數在訓練期間的更新頻率進行自我調整調整。參數接收的更新越多，更新越小。

建議使用優化器的默認參數。

參數

• lr: float >= 0. 學習率.
• epsilon: float >= 0. 若為None, 默認為 epsilon().
• decay: float >= 0. 每次參數更新後學習率衰減值.

Adadelta

keras.optimizers.Adadelta(lr=1.0, rho=0.95, epsilon=None, decay=0.0)

Adadelta 優化器。

Adadelta 是 Adagrad 的一個具有更強魯棒性的的擴展版本，它不是累積所有過去的梯度，而是根據漸變更新的移動視窗調整學習速率。 這樣，即使進行了許多更新，Adadelta 仍在繼續學習。 與 Adagrad 相比，在 Adadelta 的原始版本中，您無需設置初始學習率。 在此版本中，與大多數其他 Keras 優化器一樣，可以設置初始學習速率和衰減因數。

建議使用優化器的默認參數。

參數

• lr: float >= 0. 學習率，建議保留預設值。
• rho: float >= 0. Adadelta梯度平方移動均值的衰減率。
• epsilon: float >= 0. 模糊因數. 若為None, 默認為 epsilon()。
• decay: float >= 0. 每次參數更新後學習率衰減值。

Adam

keras.optimizers.Adam(lr=0.001, beta_1=0.9, beta_2=0.999, epsilon=None, decay=0.0, amsgrad=False)

Adam 優化器。

默認參數遵循原論文中提供的值。

參數

• lr: float >= 0. 學習率。
• beta_1: float, 0 < beta < 1. 通常接近於 1。
• beta_2: float, 0 < beta < 1. 通常接近於 1。
• epsilon: float >= 0. 模糊因數. 若為None, 默認為 epsilon()。
• decay: float >= 0. 每次參數更新後學習率衰減值。
• amsgrad: boolean. 是否應用此演算法的 AMSGrad 變種，來自論文 “On the Convergence of Adam and Beyond”。

Adamax

keras.optimizers.Adamax(lr=0.002, beta_1=0.9, beta_2=0.999, epsilon=None, decay=0.0)

Adamax 優化器，來自 Adam 論文的第七小節.

它是Adam演算法基於無窮範數（infinity norm）的變種。 默認參數遵循論文中提供的值。

參數

• lr: float >= 0. 學習率。
• beta_1/beta_2: floats, 0 < beta < 1. 通常接近於 1。
• epsilon: float >= 0. 模糊因數. 若為None, 默認為 epsilon()。
• decay: float >= 0. 每次參數更新後學習率衰減值。

Nadam

keras.optimizers.Nadam(lr=0.002, beta_1=0.9, beta_2=0.999, epsilon=None, schedule_decay=0.004)

Nesterov 版本 Adam 優化器。

正像 Adam 本質上是 RMSProp 與動量 momentum 的結合， Nadam 是採用 Nesterov momentum 版本的 Adam 優化器。

默認參數遵循論文中提供的值。 建議使用優化器的默認參數。

參數

• lr: float >= 0. 學習率。
• beta_1/beta_2: floats, 0 < beta < 1. 通常接近於 1。
• epsilon: float >= 0. 模糊因數. 若為None, 默認為 epsilon()。